SantiFP: Representación de la información

Los sistemas informáticos representan la información mediante códigos binarios (0 y 1), lo que les permite almacenar, procesar y transmitir datos de cualquier tipo.

Sistemas de Numeración en Informática

Un sistema de numeración se define por su base, que indica la cantidad de símbolos disponibles para representar las cantidades:

Sistema Binario (Base 2): Utiliza únicamente dos dígitos (0 y 1). Es el lenguaje fundamental de la electrónica digital y de los microprocesadores, donde cada dígito representa un bit (presencia o ausencia de pulso eléctrico).
Sistema Decimal (Base 10): El sistema convencional empleado por los seres humanos, basado en diez símbolos del 0 al 9. Se utiliza en la interfaz de usuario para mostrar información comprensible.
Sistema Hexadecimal (Base 16): Utiliza dieciséis símbolos: del 0 al 9 y las letras de la A a la F (donde A = 10, B = 11, hasta F = 15). Es ampliamente utilizado en informática para simplificar la lectura de largas cadenas binarias (por ejemplo, en direcciones MAC, códigos de color RGB o valores de memoria RAM).
Sistema Octal (Base 8): Utiliza ocho dígitos, del 0 al 7. Históricamente empleado en sistemas UNIX y Linux para la gestión simplificada de los permisos de archivos y directorios.

Decimal (Base 10)	Binario (Base 2)	Hexadecimal (Base 16)	Octal (Base 8)
0₁₀	0000₂	0₁₆	0₈
1₁₀	0001₂	1₁₆	1₈
2₁₀	0010₂	2₁₆	2₈
3₁₀	0011₂	3₁₆	3₈
4₁₀	0100₂	4₁₆	4₈
5₁₀	0101₂	5₁₆	5₈
6₁₀	0110₂	6₁₆	6₈
7₁₀	0111₂	7₁₆	7₈
8₁₀	1000₂	8₁₆	10₈
9₁₀	1001₂	9₁₆	11₈
10₁₀	1010₂	A₁₆	12₈
11₁₀	1011₂	B₁₆	13₈
12₁₀	1100₂	C₁₆	14₈
13₁₀	1101₂	D₁₆	15₈
14₁₀	1110₂	E₁₆	16₈
15₁₀	1111₂	F₁₆	17₈

Teorema fundamental de la numeración

Todos estos sistemas son posicionales, por lo que el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa dentro del número. Este principio queda recogido en el Teorema Fundamental de la Numeración, que constituye la base para representar y convertir números entre distintos sistemas de numeración:

$$N_b = \sum_{i=-k}^{n-1} d_i \cdot b^i$$

Donde:

$N_b$: Valor del número en base $b$.
$b$: Base del sistema de numeración (2, 8, 10, 16, etc.).
$d_i$: Cada uno de los dígitos que componen el número en la posición $i$.
$n$: Número de dígitos de la parte entera.
$k$: Número de dígitos de la parte fraccionaria (si la hubiera).

Ejemplo:

Vamos a descomponer el número decimal con parte fraccionaria $345,25_{(10}$ aplicando la fórmula del Teorema Fundamental de la Numeración:

Base ($b$): 10
Dígitos de la parte entera ($n$): 3 (posiciones 2, 1 y 0)
Dígitos de la parte fraccionaria ($k$): 2 (posiciones -1 y -2)

Desarrollo del sumatorio:

$$N_{10} = (3 \cdot 10^2) + (4 \cdot 10^1) + (5 \cdot 10^0) + (2 \cdot 10^{-1}) + (5 \cdot 10^{-2})$$

Calculando cada término:

$3 \cdot 100 = 300$ (Centenas)
$4 \cdot 10 = 40$ (Decenas)
$5 \cdot 1 = 5$ (Unidades)
$2 \cdot 0,1 = 0,2$ (Décimas)
$5 \cdot 0,01 = 0,05$ (Centésimas)

Suma total: $300 + 40 + 5 + 0,2 + 0,05 = 345,25_{10}$

Conversión entre Sistemas de Numeración

Para operar en entornos técnicos, es necesario saber transformar valores numéricos de una base a otra mediante procedimientos matemáticos estructurados:

1. Conversión de Decimal a Binario (Ejemplo: $75_{10}$)

Para convertir un número decimal a binario, se divide el número entre 2 sucesivamente y se anotan los restos de cada división. El resultado se obtiene leyendo el último cociente y todos los restos en orden inverso (de abajo hacia arriba).

Pasos del algoritmo:

75 / 2 = 37 → Resto: 1 (Bit menos significativo)
37 / 2 = 18 → Resto: 1
18 / 2 = 9 → Resto: 0
9 / 2 = 4 → Resto: 1
4 / 2 = 2 → Resto: 0
2 / 2 = 1 → Resto: 0
1 / 2 = 0 → Resto: 1 (Último cociente / Bit más significativo)

Resultado: Leídos de abajo hacia arriba, los restos forman el número: $75_{10} = 1001011_2$

2. Conversión de Binario a Decimal (Ejemplo: $110101_2$)

Se aplica el Teorema Fundamental de la Numeración, multiplicando cada bit por la potencia de base 2 correspondiente a su posición (empezando por la posición 0 desde la derecha) y se suman todos los productos resultantes.

Pasos del algoritmo:

Posición 5: $1 \cdot 2^5 = 1 \cdot 32 = 32$
Posición 4: $1 \cdot 2^4 = 1 \cdot 16 = 16$
Posición 3: $0 \cdot 2^3 = 0 \cdot 8 = 0$
Posición 2: $1 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$
Posición 1: $0 \cdot 2^1 = 0 \cdot 2 = 0$
Posición 0: $1 \cdot 2^0 = 1 \cdot 1 = 1$

Suma de las potencias: $32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53$

Resultado: $110101_2 = 53_{10}$

3. Conversión de Binario a Hexadecimal (Ejemplo: $11101011110_2$)

Es una conversión directa muy sencilla. Cada dígito hexadecimal se corresponde exactamente con un bloque de 4 bits binarios. Dado que $2^4 = 16$, agrupamos el número binario en bloques de 4 bits (tétradas) comenzando por la derecha. Si el último grupo a la izquierda no llega a 4 bits, se rellena con ceros a la izquierda.

Pasos del algoritmo:

Agrupar desde la derecha: 111 | 0101 | 1110
Rellenar con ceros el grupo izquierdo: 0111 | 0101 | 1110
Convertir cada bloque a su equivalente hexadecimal:
- 0111₂ = 7 en decimal → 7₁₆
- 0101₂ = 5 en decimal → 5₁₆
- 1110₂ = 14 en decimal → E₁₆

Resultado: Uniendo los caracteres: $11101011110_2 = 75E_{16}$

4. Conversión de Hexadecimal a Binario (Ejemplo: $3B8_{16}$)

Sustituimos cada dígito hexadecimal directamente por su equivalente binario representado en un bloque estricto de 4 bits.

Pasos del algoritmo:

3₁₆ → 0011₂
B₁₆ (11 en decimal) → 1011₂
8₁₆ → 1000₂

Resultado: Concatenando las tétradas (eliminando ceros a la izquierda del todo): $3B8_{16} = 1110111000_2$

5. Conversión de Binario a Octal (Ejemplo: $1011101_2$)

Cada dígito octal se corresponde exactamente con un bloque de 3 bits binarios (por ejemplo, el valor octal 7₈ equivale a 111₂). Dado que $2^3 = 8$, agrupamos el número binario en bloques de 3 bits (tripletas) de derecha a izquierda, completando con ceros a la izquierda si fuera necesario.

Pasos del algoritmo:

Agrupar desde la derecha: 1 | 011 | 101
Rellenar el grupo izquierdo: 001 | 011 | 101
Convertir cada bloque a octal:
- 001₂ = 1₈
- 011₂ = 3₈
- 101₂ = 5₈

Resultado: $1011101_2 = 135_8$

6. Conversión de Decimal a Hexadecimal (Ejemplo: $438_{10}$)

Se divide sucesivamente entre 16 anotando los restos. Si un resto es superior a 9, se reemplaza por su equivalente en letra (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). El resultado se lee de abajo hacia arriba.

NOTA: para pasar de decimal a hexadecimal es mucho más rápido y sencillo pasar previamente a binario y después a hexadecimal.

Pasos del algoritmo:

438 / 16 = 27 → Resto: 6
27 / 16 = 1 → Resto: 11 (→ letra B)
1 / 16 = 0 → Resto: 1 (Último cociente)

Resultado: Leídos en orden inverso: $438_{10} = 1B6_{16}$

7. Conversión de Decimal a Octal (Ejemplo: $253_{10}$)

Se divide el número entre 8 de manera sucesiva y se toman los restos junto con el último cociente en orden inverso.

NOTA: para pasar de decimal a octal es mucho más rápido y sencillo pasar previamente a binario y después a octal.

Pasos del algoritmo:

253 / 8 = 31 → Resto: 5
31 / 8 = 3 → Resto: 7
3 / 8 = 0 → Resto: 3 (Último cociente)

Resultado: Leídos de abajo hacia arriba: $253_{10} = 375_8$

8. Conversión de Hexadecimal a Decimal (Ejemplo: $2A5_{16}$)

Se multiplican las cifras por las potencias de base 16 según su posición, sustituyendo primero las letras por sus valores numéricos correspondientes.

NOTA: para pasar de hexadecimal a decimal es mucho más rápido y sencillo pasar previamente a binario y después a decimal.

Pasos del algoritmo:

Posición 2: $2 \cdot 16^2 = 2 \cdot 256 = 512$
Posición 1: $\text{A} (10) \cdot 16^1 = 10 \cdot 16 = 160$
Posición 0: $5 \cdot 16^0 = 5 \cdot 1 = 5$

Suma de las potencias: $512 + 160 + 5 = 677$

Resultado: $2A5_{16} = 677_{10}$

9. Conversión de Octal a Decimal (Ejemplo: $472_8$)

Se aplica el Teorema Fundamental de la Numeración multiplicando cada dígito por la potencia de base 8 correspondiente a su posición.

NOTA: para pasar de octal a decimal es mucho más rápido y sencillo pasar previamente a binario y después a decimal.

Pasos del algoritmo:

Posición 2: $4 \cdot 8^2 = 4 \cdot 64 = 256$
Posición 1: $7 \cdot 8^1 = 7 \cdot 8 = 56$
Posición 0: $2 \cdot 8^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Suma de las potencias: $256 + 56 + 2 = 314$

Resultado: $472_8 = 314_{10}$

10. Conversión de Octal a Binario (Ejemplo: $631_8$)

Se sustituye cada dígito octal por su equivalente en binario utilizando un bloque estricto de 3 bits.

Pasos del algoritmo:

6₈ → 110₂
3₈ → 011₂
1₈ → 001₂

Resultado: Concatenando las tripletas: $631_8 = 110011001_2$

11. Conversión de Hexadecimal a Octal (Ejemplo: $1E4_{16}$)

La forma más rápida es utilizar el binario como puente intermedio: primero se convierte el hexadecimal a binario (bloques de 4 bits) y luego ese binario se reagrupa a octal (bloques de 3 bits).

Pasos del algoritmo:

Paso 1 (Hexadecimal → Binario):
- 1 → 0001 | E (14) → 1110 | 4 → 0100
- Binario obtenido: 000111100100₂
Paso 2 (Reagrupar binario de 3 en 3 bits desde la derecha):
- 000 | 111 | 100 | 100
Paso 3 (Convertir cada bloque a octal):
- 000₂ = 0₈
- 111₂ = 7₈
- 100₂ = 4₈
- 100₂ = 4₈

Resultado: Uniendo las cifras (omitiendo el cero inicial): $1E4_{16} = 744_8$

12. Conversión de Octal a Hexadecimal (Ejemplo: $527_8$)

Al igual que el caso inverso, se pasa primero el número octal a binario (grupos de 3 bits) y posteriormente se reordena ese binario en tétradas (grupos de 4 bits).

Pasos del algoritmo:

Paso 1 (Octal → Binario):
- 5 → 101 | 2 → 010 | 7 → 111
- Binario obtenido: 101010111₂
Paso 2 (Reagrupar binario de 4 en 4 bits desde la derecha, rellenando con ceros a la izquierda):
- 0001 | 0101 | 0111
Paso 3 (Convertir cada tétrada a hexadecimal):
- 0001₂ = 1₁₆
- 0101₂ = 5₁₆
- 0111₂ = 7₁₆

Resultado: $527_8 = 157_{16}$

Actividad práctica

Objetivo:

Realizar operaciones de conversión numérica entre diferentes bases utilizadas habitualmente en redes y sistemas informáticos.

Tareas:

Convierte el número decimal 170₁₀ a su equivalente en sistema binario (Base 2).
Transforma el número binario 11011010₂ a su representación en sistema hexadecimal (Base 16).
Calcula el valor decimal del número octal 345₈.

Completa la siguiente tabla:

HEX	BIN	OCT	DEC
	1001
	1110
12
			815
	11110110110
		63535

Haz clic aquí para ver las soluciones y explicaciones

1. Convierte el número decimal 170₁₀ a su equivalente en sistema binario (Base 2)

Dividiendo sucesivamente entre 2: 170 / 2 = 85 (resto 0), 85 / 2 = 42 (resto 1), 42 / 2 = 21 (resto 0), 21 / 2 = 10 (resto 1), 10 / 2 = 5 (resto 0), 5 / 2 = 2 (resto 1), 2 / 2 = 1 (resto 0), y 1 / 2 = 0 (resto 1). Tomando los restos en orden inverso, el resultado es 10101010₂.

2. Transforma el número binario 11011010₂ a su representación en sistema hexadecimal (Base 16)

Se divide el binario en bloques de 4 bits desde la derecha: 1101 y 1010. El bloque 1101 equivale a 13 en decimal, que en hexadecimal es la letra D. El bloque 1010 equivale a 10 en decimal, que es la letra A. Por tanto, el valor hexadecimal es DA₁₆.

3. Calcula el valor decimal del número octal 345₈

Se multiplica cada dígito por su potencia de 8 correspondiente:
(3 × 8²) + (4 × 8¹) + (5 × 8⁰) = (3 × 64) + (4 × 8) + (5 × 1) = 192 + 32 + 5 = 229₁₀.

4. Completa la siguiente tabla:

HEX	BIN	OCT	DEC
9	1001	11	9
E	1110	16	14
12	10010	22	18
32F	1100101111	1457	815
7B6	11110110110	3666	1974
675D	110011101011101	63535	26461

Preguntas de reflexión:

¿Por qué la arquitectura de los ordenadores modernos se basa fundamentalmente en el sistema binario (dos estados físicos) en lugar de utilizar el sistema decimal humano?
¿Cómo facilita el sistema hexadecimal la lectura y depuración de un volcado de memoria (memory dump) frente a la complejidad de leer cientos de ceros y unos seguidos?
¿Qué relación matemática exacta permite convertir directamente un número binario a hexadecimal agrupando los bits de 4 en 4?
¿En qué escenarios específicos de la administración de sistemas UNIX/Linux se sigue utilizando activamente el sistema octal para configurar permisos de ficheros?
¿Qué errores de desbordamiento (overflow) numérico pueden producirse cuando un sistema informático intenta almacenar un valor binario que excede el número de bits asignado?
¿Por qué los ingenieros de sistemas prefieren utilizar el sistema hexadecimal en lugar de largas cadenas binarias para representar direcciones de memoria o tramas de red?

Haz clic aquí para ver las respuestas explicadas

1. ¿Por qué se utiliza el sistema binario?

Por fiabilidad física en los componentes electrónicos (transistores). Distinguir entre solo dos estados eléctricos (alto/bajo voltaje, paso/bloqueo de corriente) es muy robusto frente al ruido electromagnético. Crear componentes capaces de medir y diferenciar 10 niveles de voltaje distintos con precisión requeriría circuitos extremadamente complejos, costosos y propensos a errores.

2. Facilitación en volcados de memoria (Memory Dumps)

Representar los bytes en hexadecimal reduce en un 75% la longitud de los datos en pantalla (cada grupo de 4 bits pasa a ser un solo carácter). Esto evita la sobrecarga visual, simplifica la alineación en columnas y permite a los técnicos identificar patrones, cabeceras de archivos o punteros de memoria a simple vista.

3. Relación matemática entre Binario y Hexadecimal

La relación se debe a que la base 16 es una potencia exacta de la base 2 ($2^4 = 16$). Debido a esta equivalencia matemática, exactamente $2^4 = 16$ combinaciones distintas se pueden formar con 4 bits (de 0000 a 1111), lo que corresponde exactamente a los 16 símbolos del sistema hexadecimal (del 0 a la F).

4. Uso del octal en sistemas UNIX/Linux

Se utiliza activamente en la gestión de permisos del sistema de archivos mediante el comando chmod (modo numérico). Cada uno de los tres dígitos octales asigna los permisos de lectura (4), escritura (2) y ejecución (1) para los tres roles del sistema: Propietario (User), Grupo (Group) y Otros (Others). Por ejemplo, chmod 755 archivo.

5. Desbordamiento numérico (Overflow)

Ocurre cuando el resultado de una operación matemática supera el valor máximo que puede ser representado con el número finito de bits asignados al tipo de dato (por ejemplo, intentar almacenar 256 en un registro de 8 bits no signado). Al no caber el bit más significativo (bit de acarreo), este se pierde o altera el bit de signo, produciendo valores erróneos, truncados o incluso volviéndose negativos involuntariamente.

6. Ventajas del Hexadecimal en direcciones y redes

Además de compactar la información, la conversión mental entre hexadecimal y binario es inmediata (al ser en bloques rígidos de 4 bits), algo que no ocurre al convertir de binario a decimal. Esto lo hace idóneo para representar direcciones MAC (48 bits en 12 dígitos Hex), IPv6 (128 bits en 8 bloques de 4 dígitos Hex) o códigos de color HTML/RGB.

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Representación de la información

Sistemas de Numeración en Informática

Teorema fundamental de la numeración

Ejemplo:

Conversión entre Sistemas de Numeración

1. Conversión de Decimal a Binario (Ejemplo: $75_{10}$)

2. Conversión de Binario a Decimal (Ejemplo: $110101_2$)

3. Conversión de Binario a Hexadecimal (Ejemplo: $11101011110_2$)

4. Conversión de Hexadecimal a Binario (Ejemplo: $3B8_{16}$)

5. Conversión de Binario a Octal (Ejemplo: $1011101_2$)

6. Conversión de Decimal a Hexadecimal (Ejemplo: $438_{10}$)

7. Conversión de Decimal a Octal (Ejemplo: $253_{10}$)

8. Conversión de Hexadecimal a Decimal (Ejemplo: $2A5_{16}$)

9. Conversión de Octal a Decimal (Ejemplo: $472_8$)

10. Conversión de Octal a Binario (Ejemplo: $631_8$)

11. Conversión de Hexadecimal a Octal (Ejemplo: $1E4_{16}$)

12. Conversión de Octal a Hexadecimal (Ejemplo: $527_8$)

Actividad práctica

Objetivo:

Tareas:

1. Convierte el número decimal 170₁₀ a su equivalente en sistema binario (Base 2)

2. Transforma el número binario 11011010₂ a su representación en sistema hexadecimal (Base 16)

3. Calcula el valor decimal del número octal 345₈

4. Completa la siguiente tabla:

Preguntas de reflexión:

1. ¿Por qué se utiliza el sistema binario?

2. Facilitación en volcados de memoria (Memory Dumps)

3. Relación matemática entre Binario y Hexadecimal

4. Uso del octal en sistemas UNIX/Linux

5. Desbordamiento numérico (Overflow)

6. Ventajas del Hexadecimal en direcciones y redes

Recursos adicionales:

Páginas

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Teorema fundamental de la numeración

Ejemplo:

Conversión entre Sistemas de Numeración

1. Conversión de Decimal a Binario (Ejemplo: $75_{10}$)

2. Conversión de Binario a Decimal (Ejemplo: $110101_2$)

3. Conversión de Binario a Hexadecimal (Ejemplo: $11101011110_2$)

4. Conversión de Hexadecimal a Binario (Ejemplo: $3B8_{16}$)

5. Conversión de Binario a Octal (Ejemplo: $1011101_2$)

6. Conversión de Decimal a Hexadecimal (Ejemplo: $438_{10}$)

7. Conversión de Decimal a Octal (Ejemplo: $253_{10}$)

8. Conversión de Hexadecimal a Decimal (Ejemplo: $2A5_{16}$)

9. Conversión de Octal a Decimal (Ejemplo: $472_8$)

10. Conversión de Octal a Binario (Ejemplo: $631_8$)

11. Conversión de Hexadecimal a Octal (Ejemplo: $1E4_{16}$)

12. Conversión de Octal a Hexadecimal (Ejemplo: $527_8$)

Actividad práctica

Objetivo:

Tareas:

1. Convierte el número decimal 17010 a su equivalente en sistema binario (Base 2)

2. Transforma el número binario 110110102 a su representación en sistema hexadecimal (Base 16)

3. Calcula el valor decimal del número octal 3458

4. Completa la siguiente tabla:

Preguntas de reflexión:

1. ¿Por qué se utiliza el sistema binario?

2. Facilitación en volcados de memoria (Memory Dumps)

3. Relación matemática entre Binario y Hexadecimal

4. Uso del octal en sistemas UNIX/Linux

5. Desbordamiento numérico (Overflow)

6. Ventajas del Hexadecimal en direcciones y redes

Recursos adicionales:

1. Convierte el número decimal 170₁₀ a su equivalente en sistema binario (Base 2)

2. Transforma el número binario 11011010₂ a su representación en sistema hexadecimal (Base 16)

3. Calcula el valor decimal del número octal 345₈